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Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

• Definition

• Eigenschaften

• Beispiele

• Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ

• Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren

• Literatur

Sei g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} eine Lie-Algebra über dem Körper k {\displaystyle k} und ad : g → → g l ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

B ( X , Y ) := Tr ⁡ ⁡ ( ad ⁡ ⁡ ( X ) ∘ ∘ ad ⁡ ⁡ ( Y ) ) {\displaystyle B(X,Y):=\operatorname {Tr} (\operatorname {ad} (X)\circ \operatorname {ad} (Y))}

für X , Y ∈ ∈ g {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}} definierte symmetrische Bilinearform

B : g × × g → → k {\displaystyle B:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow k} ,

wobei Tr {\displaystyle \operatorname {Tr} } die Spur bezeichnet.

• B {\displaystyle B} ist eine symmetrische Bilinearform.

• B {\displaystyle B} ist assoziativ, das heißt, es gilt B ( [ X , Y ] , Z ) = B ( X , [ Y , Z ] ) {\displaystyle B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])} für alle X , Y , Z ∈ ∈ g {\displaystyle X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}} .

• Für alle Z ∈ ∈ g {\displaystyle Z\in {\mathfrak {g}}} ist ad ⁡ ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {ad} (Z)} schiefsymmetrisch bzgl. B {\displaystyle B} , das heißt für alle X , Y ∈ ∈ g {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}} gilt

B ( ad ⁡ ⁡ ( Z ) X , Y ) = − − B ( X , ad ⁡ ⁡ ( Z ) Y ) {\displaystyle B(\operatorname {ad} (Z)X,Y)=-B(X,\operatorname {ad} (Z)Y)} .

• Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} halb-einfach ist.

• Falls g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe G {\displaystyle G} ist, dann ist B {\displaystyle B} Ad {\displaystyle \operatorname {Ad} } -invariant, d. h. für alle g ∈ ∈ G , X , Y ∈ ∈ g {\displaystyle g\in G,X,Y\in {\mathfrak {g}}} gilt

B ( Ad ⁡ ⁡ ( g ) X , Ad ⁡ ⁡ ( g ) Y ) = B ( X , Y ) {\displaystyle B(\operatorname {Ad} (g)X,\operatorname {Ad} (g)Y)=B(X,Y)} .

• Falls g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn G {\displaystyle G} kompakt ist. Insbesondere definiert − − B {\displaystyle -B} eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe G {\displaystyle G} . Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

| g | B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} |

|---|---|

| gl ( n , R ) | 2 n Tr ⁡ ( X Y ) − 2 Tr ⁡ ( X ) Tr ⁡ ( Y ) {\displaystyle 2n\operatorname {Tr} (XY)-2\operatorname {Tr} (X)\operatorname {Tr} (Y)} |

| sl ( n , R ) | 2 n Tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle 2n\operatorname {Tr} (XY)} |

| su ( n ) | 2 n Tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle 2n\operatorname {Tr} (XY)} |

| so ( n , R ) | ( n − 2 ) Tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle (n-2)\operatorname {Tr} (XY)} |

| so ( n ) | ( n − 2 ) Tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle (n-2)\operatorname {Tr} (XY)} |

| sp ( n , R ) | ( 2 n + 2 ) Tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle (2n+2)\operatorname {Tr} (XY)} |

| sp ( n , C ) | ( 2 n + 2 ) Tr ⁡ ( X Y ) {\displaystyle (2n+2)\operatorname {Tr} (XY)} |

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

M = G / K {\displaystyle M=G/K}

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe G {\displaystyle G} und einer maximal kompakten Untergruppe K {\displaystyle K} .

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

g = k ⊕ ⊕ p {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}

und man kann den Tangentialraum T [ e ] G / K {\displaystyle T_{\left[e\right]}G/K} im neutralen Element mit p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} und positiv definit auf p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} . Insbesondere definiert sie ein Ad ⁡ ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (G)} -invariantes Skalarprodukt auf p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf M = G / K {\displaystyle M=G/K} . Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige G {\displaystyle G} -invariante Metrik auf M {\displaystyle M} .

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik 0 {\displaystyle 0} .

• Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.